2024年3月21日、22日，围绕“音乐与科学，浪漫与计算”的话题，《一点五维的巴赫：音乐、科学和历史》一书作者马慧元，分别与郁隽、范昀、林晓筱、罗逍然四位青年学者展开了两场精彩对谈，本刊拟分两次刊登。

——编者

马慧元：我过去写的书相对来说比较集中在作曲家、作品、演奏、乐器，还有音乐跟我们普通人生活的关系这些话题。但大约六七年前，我的兴趣突然就转变了。这本书（《一点五维的巴赫：音乐、科学和历史》）风格也好，写作的方法或者思维的框架也好，跟我之前写的东西是不一样的，我自以为我对音乐的兴趣还是在的，但是我更愿意去引入一种新的方式去看音乐，我想了解的是音乐“how it works”，它的背后到底是不是真的有物理学、数学在支持它？从这个出发点我就去思考一些问题。另外我也找了很多资料，你可以看到在音乐世界里有很多谈论数学和音乐、神经科学和音乐、物理和音乐，还有数学、物理和乐器制造的书籍。但是我看了很多书之后，我的想法又有了一些改变，我觉得跟我的初衷不太一样的是，我现在更感兴趣的可能是科学和音乐没那么有关系的地方。作为一个程序员，我的思维总是会从正反两方面去看问题，如果我想讨论音乐和数学的关系，那么我也会看数学有没有受到音乐的影响，我也会看音乐还受没受到其他事物的影响，到底数学和科学谁对音乐的影响更大；我也会看数学对其他的艺术有没有影响，它对其他的艺术的影响，跟音乐相比，对哪方面的影响更大。这几年读书也好，思考也好，我是没有结论的。但是我觉得我自己会有很多想法，在这个过程中想到一些问题，算是一些总结和交流。

首先谈到音乐和数学的关系，我听到一些说法是音乐是数学的一部分，这个成见是从哪儿来的？最早是毕达哥拉斯，他发现了弦长跟音高有一个非常简单的数学关系，你把弦长两端固定做一个简单的模型，拨这根弦，它出来一个基音；把弦长缩短到一半的时候，是高了八度的音。大家发现，这么简单的数字关系，却揭示了我们听觉喜欢的和谐，真的是非常惊人。这里就有它的神学和神秘意义在。这就是为什么早期很多人都认为音乐就是数学的一部分，一直到现在，我觉得这个结论也没有错。但是现在我们的认知肯定都复杂化了，数学变得更复杂了，音乐也变得更复杂了，所以渐渐到了一个程度，两者似乎是在十九世纪渐行渐远了。

到了二十世纪，科学对音乐的传播有着巨大的作用，我想这个传播也会影响到音乐的作曲和演奏，两者似乎又有点回到一起了。但是这个关系跟早期还是不一样的。所以在思考和阅读的过程中，我又发现了一些有意思的东西，包括这本书中提到的，在思考音乐和声波的关系时，有一个著名的法国科学家傅里叶。他发现的傅里叶级数就是把声波怎么分解成我们正弦余弦的表达式，其实并不仅仅是声波，所有的波动都可以用傅里叶级数来表达，甚至世间万物都可以用傅里叶级数来表达。可是一个有意思的问题是，傅里叶跟贝多芬就差两三岁，傅里叶发现的声波对我们对音乐的认识有革命性的影响，那他对贝多芬的音乐有多少影响？我可以负责任地告诉大家，没有影响。傅里叶级数一百多年以后才逐渐被音乐家认识和接受，也许到现在都没有被完全接受。一个同时代人对音乐的认识有这么大的贡献，可以说是革命性的变革，但是对音乐家的音乐生活却没有任何影响。

但另外一个同时代人，拿破仑，他对贝多芬有多少影响？太多了！贝多芬的交响曲跟拿破仑有直接的关系，拿破仑对当时世界的改变，对大家生活观的改变，对贝多芬的音乐都是有直接影响的。所以说到底是什么在影响音乐？数学和科学可以影响音乐，但在很多时候它们的影响远远比不上社会和政治带来的影响。我们还有很多的例子可以讲。很多时候我们以为的数学跟艺术的联系并没有我们想象得那么密切，数学和音乐在某些节点上是有相遇的，但是也可能仅仅就是偶然的相遇，甚至可能不相遇也是可以的。

刚才我们说到毕达哥拉斯，他提到了弦长比的关系，被用在调律上。调律必须用到算术，音乐跟数学确实是有联系的，八度我们都要满足1/2的关系，五度要满足2/3的关系，三度要满足一定的关系，4/5也好，7/8也好，这些关系都要满足，这时候我们就发现有理数是没法达到这个要求的。因为音程是八度，五度往上走，在某一个点也会跟八度相遇，但最后相遇的时候它会差了一点点。在毕达哥拉斯的时候没有无理数的概念，这个差一点点让大家非常痛苦。我们怎么才能调律调到各种音程都觉得比较舒服，甚至不需要所有的音程都很舒服，哪怕我只有五度和八度同时调准了也行，结果发现五度和八度在各个音程上的同时准确也满足不了。最后的结果就会有一个取舍，要满足这个就不满足那个。但是大家都是认为八度是最重要的，所以最后就以八度為准，所谓的绝对平均律，任何一个间隔都均分，五度、四度都不那么好听，都差一点点，但是听上去还凑合，而且这样任意的间距都能够满足我们所期待的这个五度和四度、三度的关系。从这一点来说，音乐跟数学本质性的联系就是它生命的周期性。无理数这个东西可以在我们生活中无所不在，我们所遇到的东西绝大多数都是无理数，但是它只有在音乐上显得那么尖锐，这个确实也跟我们生理性有关系。在调律的时候正好差了那么一点点的时候，就是你最痛苦的时候。所以在这个意义上，音乐才跟数学显示出非常紧密的关系，这个紧密的关系也体现在乐器制造上，几种乐器在合作的时候，我们应该怎么去取舍。

但是调律以外，音乐和数学还是渐渐分开了。有一个误会我经常听到，大家都说巴赫是音乐家中的数学家。很多了解巴赫音乐、看过巴赫的谱子的人，会看到他音乐中的对称性、逻辑性，但我不知道所谓的数学从哪儿来。巴赫本身并没有受过太多的教育，他是不可能了解很多数学知识的，我这本书里有篇文章讲到，巴赫的儿子中确实有一位是真懂数学的，就是他的长子威廉·弗里德曼，他在莱比锡大学读了数学学位。除了他以外，巴赫家族中没有人受过非常好的教育，也没有人跟数学和科学产生过任何的联系。巴赫生活的时代，科学机器这些东西确实是在发展，有的人说肯定是对巴赫有一定影响，这个也是对的，我相信总是有影响的，但是巴赫本人并没有体现出这种影响。巴赫有一些风格的变化，其实是跟当时的教会有关系的。

所以，这就说到我这本书的名字为什么叫“一点五维的巴赫”。在我眼里，巴赫的音乐不是数学，但是他的音乐充满了数字。为什么叫一点五维？是因为我们数学中有一个分形的概念，复杂结构有一个可以自相似。但是分形并不限于自相似，它可以自相似，大家都看到过锯齿形状，例如一片叶子，它再长出来一个小叶子还是那个形状，可以无限分下去。这个不光是看着好玩，它有一些很实际的用处。我们生活中有很多的复杂结构，但复杂结构之间的关系并不能用长度、面积和体积来计算，科学家寻找它们中间的共性，试图把它们联系到一起。最后科学家真的发现了一个奇迹般的规律，就是所谓的3/4理论（Kleiber’s law）。不光是动物，所有的生命体，它质量的3/4次方跟新陈代谢都有正比的关系，B = βM3/4（B是基础代谢率，M是质量，β是常数）！人类最终发现了表达这种复杂结构之间的关系，这就是分形。“一点五维”仅仅是分形应用中的一个实例。一个三角形，我把这个三角形中间分成四个小三角形，把其中一个抠掉之后，剩下三个三角形，如果它是有质量，就是总质量的1/3；再把一个小三角形中间扣掉，它还是1/3的关系，这个关系就说小三角形的高相当于是大三角形的1/2，但是它的质量相当于大三角形的1/3。这个就不是我们习惯的一维二维三维的比例了，最后我们取下的对数就是1.58倍。这就是“一点五维”的由来。巴赫音乐中体现了一些比较复杂的关系，这个复杂的关系可以说对一些数学关系有一定的隐喻。

但是另外有一个点，就是为什么巴赫的作品伟大。大家都知道巴赫的音乐首先是很好听的，这是最根本的。有一个瑞典的研究者，她做了非常令人佩服的研究。她发现巴赫很多大型作品，甚至《b小调弥撒》，小節数都是一千四百小节，好多大作品，最后的小节数都是整数，而且它们都凑成了倍数，或者是体现了一定的比例，我觉得这太不可思议了。但大家再做研究又发现所谓的巴赫整数的理念，并不是巴赫所特有的，当时很多作曲家都有，只不过大家都没有注意到；其实就是因为巴赫的音乐太有意思了，才引导大家从各个角度去了解他的音乐，包括发现他音乐中的数字。